Les démonstrations des sciences mathématiques portent sur la forme et non sur le contenu

En ce qui concerne les vérités mathématiques, on considérerait encore moins comme un géomètre celui qui saurait (par coeur), extérieurement, les théorèmes d’Euclide, sans savoir leurs démonstrations, sans les savoir, pour s’exprimer par contraste, intérieurement. On tiendrait également pour non satisfaisante la connaissance de la relation bien connue des côtés d’un triangle rectangle, acquise par la mesure de beaucoup de triangles rectangles. Toutefois l’essentialité de la démonstration n’a pas encore dans la connaissance mathématique la signification et la nature qui en feraient un moment du résultat même; mais dans ce résultat un tel moment est dépassé et a disparu. En tant que résultat, le théorème est bien un théorème reconnu comme un théorème vrai ; mais cette circonstance surajoutée ne concerne pas son contenu, elle concerne seulement sa relation au sujet connaissant ; le mouvement de la démonstration mathématique n’appartient pas au contenu de l’objet, mais est une opération extérieure à la chose. Par exemple la nature du triangle rectangle ne se dispose pas elle-même de la façon représentée dans la construction nécessaire pour démontrer la proposition exprimant la relation du triangle même ; tout le processus dont sort le résultat est seulement un processus de la connaissance, un moyen de la connaissance. (…)

Dans la connaissance mathématique la réflexion est une opération extérieure à la chose ; de ce fait, il résulte que la vraie chose est altérée. Sans doute le moyen, c’est-à-dire la construction et la démonstration, contient des propositions vraies, mais on doit dire aussi bien que le contenu est faux. Le triangle, dans l’exemple précédent, est démembré, ses parties sont converties en éléments d’autres figures que la construction fait naître en lui.C’est seulement à la fin que le triangle est rétabli, le triangle auquel nous avions proprement affaire et qui avait été perdu de vue au cours de la démonstration, étant mis en pièces qui appartenaient à d’autres totalités.

Ici donc nous voyons entrer aussi en jeu la négativité du contenu, et on devrait la nommer une fausseté du contenu au même titre que dans le mouvement du concept la disparition des pensées tenues pour fixes. (…)Ainsi la démonstration suit une voie qui commence en un point quelconque sans qu’on sache encore le rapport de ce commencement au résultat qui doit en sortir.

Le cours de la démonstration compte telles déterminations et tels rapports, et en écarte d’autres sans qu’on puisse se rendre compte immédiatement selon quelle nécessité cela a lieu ; une finalité extérieure régit un tel mouvement.L’évidence de cette connaissance défectueuse dont la mathématique est fière, et dont elle fait parade contre la philosophie, repose seulement sur la pauvreté de son but et sur la défectuosité de sa matière.

La démontration porte sur la forme et non sur le contenu de la science mathématique. 

 

Hegel :La Phénoménologie de l’Esprit, Préface, trad. J. Hyppolite, Aubier-Montaigne, 1972, pages 36.38.

 

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